Question

設a，b是異面直線，則以下四個命題：①存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面；②存在分別經過直線a和b的兩個平行平面；③經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b；④經過直線a有且只有一個平面平行于直線b．其中正確的個數有
（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：熟練應用點線面位置關系的判定定理和性質定理

解答：解：對于①：可以在兩個互相垂直的平面中，分別畫一條直線，當這兩條直線異面時，可判斷①正確
對于②：可在兩個平行平面中，分別畫一條直線，當這兩條直線異面時，可判斷②正確
對于③：當這兩條直線不是異面垂直時，不存在這樣的平面滿足題意，可判斷③錯誤
對于④：假設過直線a有兩個平面α、β與直線b平行，則面α、β相交于直線a，過直線b做一平面γ與面α、β相交于兩條直線m、n，則直線m、n相交于一點，且都與直線b平行，這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，所以假設不成立，所以④正確
故選C

點評：本題考察點線面的位置關系，要求有比較好的想象力，且熟練掌握平面的基本性質和點線面的位置關系的判定定理和性質定理