Question

國(guó)家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟(jì)”政策后，環(huán)保節(jié)能的產(chǎn)品供不應(yīng)求．為適應(yīng)市場(chǎng)需求，某企業(yè)投入98萬元引進(jìn)環(huán)保節(jié)能生產(chǎn)設(shè)備，并馬上投入生產(chǎn)．第一年需各種費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬元．而每年因引入該設(shè)備可獲得年利潤(rùn)為50萬元．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決以下問題：
（1）引進(jìn)該設(shè)備多少年后，該廠開始盈利？
（2）若干年后，因該設(shè)備老化，需處理老設(shè)備，引進(jìn)新設(shè)備．該廠提出兩種處理方案：
第一種：年平均利潤(rùn)達(dá)到最大值時(shí)，以26萬元的價(jià)格賣出．
第二種：盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出．
問哪種方案較為合算？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)等于收入-成本，可求利潤(rùn)函數(shù)，令其大于0，可得結(jié)論；
（2）分別求出兩種處理方案的利潤(rùn)，再進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)引進(jìn)該設(shè)備x年后，該廠盈利y萬元，則y=50x-98-[12x+

x(x-1)

2

×4]=-2x²+40x-98
令y＞0可得10-

51

＜x＜10+

51

∵x是自然數(shù)，∴x=3時(shí)，該廠開始盈利；
（2）第一種：年平均利潤(rùn)為

y

x

=-2x-

98

x

+40≤-2

2x• 98 x

+40=12，當(dāng)且僅當(dāng)2x=

98

x

，即x=7時(shí)，年平均利潤(rùn)
最大，共盈利12×7+26=110萬元；
第二種：盈利總額y=-2（x-10）²+102，當(dāng)x=10時(shí)，取得最大值102，即經(jīng)過10年盈利總額最大，共盈利102+8=110萬元
兩種方案獲利相等，但由于方案二時(shí)間長(zhǎng)，故采用第一種方案．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．