Question

已知函數f(x)＝(ax2－2x＋a)·e－x.

(1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區間；

(2)設g(x)＝－－a－2，h(x)＝x2－2x－ln x，若x＞1時總有g(x)＜h(x)，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）單調遞增區間為(1,3)，單調遞減區間為(－∞，1)，(3，＋∞)．（2）－≤a≤

【解析】(1)當a＝1時，函數f(x)＝，其定義域為R.

f′(x)＝

由f′(x)＞0，得1＜x＜3，由f′(x)＜0，得x＜1或x＞3，

∴函數f (x)的單調遞增區間為(1,3)，單調遞減區間為(－∞，1)，(3，＋∞)．

(2)∵f′(x)＝，

∴g(x)＝－－a－2＝ax2－2(a＋1)x，

令φ(x)＝g(x)－h(x)＝x2－2ax＋ln x(x＞1)，

當x＞1時總有g(x)＜h(x)等價于φ(x)＜0在(1，＋∞)上恒成立．

φ′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝.

①若a＞，令φ′(x)＝0得x1＝1，x2＝.

當x2＞x1＝1，即＜a＜1時，在(1，x2)上φ′(x)＜0，則φ(x)單調遞減；

在(x2，＋∞)上φ′(x)＞0，則φ(x)單調遞增．

故φ(x)的值域為[φ(x2)，＋∞)，不合題意，舍去．

當x2≤x1＝1，即a≥1時，同理可得φ(x)在(1，＋∞)上單調遞增，

故φ(x)的值域為(φ(1)，＋∞)，不合題意，舍去．

②若a≤，即2a－1≤0時，在區間(1，＋∞)上恒有φ′(x)＜0，則φ(x)單調遞減，φ(x)＜φ(1)＝－a－≤0，

∴－≤a≤