Question

【題目】已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直線l：x﹣y+3＝0．當直線l被圓C截得的弦長為時，求

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．

【解析】

（Ⅰ）根據圓的方程找出圓心坐標與圓的半徑，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，然后根據垂徑定理得到弦心距，弦的一半及圓的半徑成直角三角形，利用勾股對了列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到滿足題意a的值；

（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圓的方程中確定出圓的方程，即可得到圓心的坐標，并判斷得到已知點在圓外，分兩種情況：當切線的斜率不存在時，得到x＝3為圓的切線；當切線的斜率存在時，設切線的斜率為k，由（3，5）和設出的k寫出切線的方程，根據直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑即可列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所設的切線方程即可確定出切線的方程．綜上，得到所有滿足題意的切線的方程．

解：（Ⅰ）依題意可得圓心C（a，2），半徑r＝2，

則圓心到直線l：x﹣y+3＝0的距離，

由勾股定理可知，代入化簡得|a+1|＝2，

解得a＝1或a＝﹣3，

又a＞0，所以a＝1；

（Ⅱ）由（1）知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圓心坐標為（1，2），圓的半徑r＝2

由（3，5）到圓心的距離為r＝2，得到（3，5）在圓外，

∴①當切線方程的斜率存在時，設方程為y﹣5＝k（x﹣3）

由圓心到切線的距離dr＝2，

化簡得：12k＝5，可解得，

∴切線方程為5x﹣12y+45＝0；

②當過（3，5）斜率不存在直線方程為x＝3與圓相切．

由①②可知切線方程為5x﹣12y+45＝0或x＝3．