Question

【題目】已知函數(shù)與.

（1）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)恰好相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：. .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù) 由 ，解方程可得；

（2）由 在恒成立的必要條件為得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而證明時(shí)，對(duì)任意 ，總有；（3）由（2）知：時(shí)，令，化簡(jiǎn)可得，再令 ，多個(gè)不等式求和，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可的結(jié)論.

試題解析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù) 由 ，解方程可得.

（2）令，則 ，在恒成立的必要條件為.即，又當(dāng)時(shí)，，，令，則，即，在遞減，即，在恒成立的充分條件為.綜上，可得：

（3）設(shè)為的前n項(xiàng)和，則，要證原不等式，只需證：，由（2）知：時(shí)即：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，則，即：，即, 令 ，多個(gè)不等式求和，從而原不等式得證