Question

【題目】已知函數f（x）=a2x﹣2﹣x定義域為R的奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性，并利用函數單調性的定義證明；
（3）若不等式f（9x+1）+f（t﹣23x+5）＞0在在R上恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x） 對任意x∈R恒成立，即a2﹣x﹣2x=﹣（a2x﹣2﹣x）．

即（a﹣1）（2﹣x+2x）=0，

∴a=1；

（2）解：f（x）為R上的增函數．下面證明：

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣（ ﹣ ）

=（ ﹣ ）+ =（ ﹣ ）（1+ ）

∵x1＜x2，

∴ ﹣ ＜0，1+ ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）為R上的增函數

（3）解：∵不等式f（9x+1）+f（t﹣23x+5）＞0在R上恒成立

∴f（9x+1）＞﹣f（t﹣23x+5）=f[﹣（t﹣23x+5）]=f（﹣t+23x﹣5），

∵f（x）為R上的增函數

∴9x+1＞﹣t+23x﹣5，t＞﹣9x+23x﹣6，即t＞﹣（3x﹣1）2﹣5

當3x﹣1=0，即x=0時，﹣（3x﹣1）2﹣5有最大值﹣5，

所以t＞﹣5

【解析】1、根據題意可得利用奇函數的判定即可得出a的值。
2、利用函數單調性的定義可以判斷，得出f（x1）＜f（x2）。
3、結合（2）的結論和奇函數的性質，不等式可轉化為t＞﹣9x+23x﹣6，再利用換元法和二次函數的知識求出上式的最小值即可。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．