Question

已知雙曲線的中心在原點，以兩條坐標軸為對稱軸，離心率是

2

，兩準線間的距離大于

2

，且雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1．
（Ⅰ）求證：該雙曲線的焦點不在y軸上；
（Ⅱ）求雙曲線的方程；
（Ⅲ）如果斜率為k的直線L過點M（0，3），與該雙曲線交于A、B兩點，若

AM

=λ

MB

(λ＞0)，試用l表示k²，并求當λ∈[

1

2

，2]時，k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）反證法：假設雙曲線的焦點在y軸上，因為雙曲線上任一點到點A（2，0）的距離大于點A到漸近線的距離，
而點A到漸近線的距離大于1，這與“雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾，故假設不對．
（2）雙曲線的焦點在x軸上，設出方程，待定系數法求方程．
（3）直線方程與雙曲線方程聯立，化為一元二次方程，應用根與系數的關系、2個向量關系，用λ表示k²，
由λ范圍，求k的取值范圍．

解答：證明：（Ⅰ）設雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c，
由

c a = 2 a2+b2=c2

，得c=

2

a，a=b，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x．
若雙曲線的焦點在y軸上，
則雙曲線上任一點到點A（2，0）的距離大于點A到漸近線的距離，
而點A到漸近線的距離d=

2

＞1，
這與“雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾．
所以雙曲線的焦點不在y軸上．
方法二：聯立雙曲線方程y²-x²=a²與圓（x-2）²+y²=1，證明方程組無解．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，雙曲線的焦點在x軸上，
設雙曲線的方程為x²-y²=a²，P（x₀，y₀），則x₀²-y₀²=a²，
|PA|²=（x₀-2）²+y₀²=（x₀-2）²+x₀²-a²=2（x₀-1）²+2-a²，
又由

2a2

c

＞

2

得a＞1
又當x₀=a時，|PA|²有最小值，即2（a-1）²+2-a²=（a-2）²=1，
∴a=3，所以，雙曲線的方程為x²-y²=9．
解（Ⅲ）：設直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

AM

=λ

MB

(λ＞0)，∴（-x₁，3-y₁）=λ（x₂，y₂-3），∴x₁=-λx₂（x₁x₂＜0）①，
由

y=kx+3 x2-y2=9

消去y得，（1-k²）x²-6kx-18=0，
x₁+x₂=

6k

1-k2

②，x₁x₂=-

18

1-k2

＜0   ③
將①分別代入②、③
得，（1-λ）x₂=

6k

1-k2

④λx₂²=

18

1-k2

⑤
④²÷⑤并整理得，k2=1-

2λ

λ2+1

（l＞0）
令f（l）=

2λ

λ2+1

，則f′(λ)=

2(λ2+1)-2λ•2λ

(λ2+1)2

=

-2λ2+2

(λ2+1)2

令f′（λ）=0，得 λ=1；    令f′（λ）＞0，
得0＜l＜1；令f′（λ）＜0，得l＞1
當λ∈[

1

2

，2]時，f(

1

2

)=

4

5

，
f（1）=1，f(2)=

4

5

，∴f(λ)∈[

4

5

，1]
∴k2∈[0，

1

5

]，∴k∈[-

5

5

，

5

5

]．（13分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用．