Question

某國采用養老儲備金制度．公民在就業的第一年就交納養老儲備金，數目為a，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的儲備金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列．與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利．這就是說，如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第l年所交納的儲備金就變為a1(1+r)n-1，第2年所交納的儲備金就變為a2(1+r)n-2…以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額．
（1）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關系式；
（2）求證：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列．

Answer 1

分析：（1）根據在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到結論；
（2）根據已知中T_n所表示的實際意義，根據T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額，及儲備金總額的計算方法計算T_n，然后對其進行分解，并對分解結合等差數列等比數列的定義進行分析，不難得到結果．

解答：解：（1）根據在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，我們有T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
（2）T₁=a₁，對n≥2反復使用上述關系式，得T_n=T_n-1（1+r）+a_n=T_n-2（1+r）²+a_n-1（1+r）+a_n=…=a₁（1+r）^n-1+a₂（1+r）^n-2+…+a_n-1（1+r）+a_n，①
在①式兩端同乘1+r，得（1+r）T_n=a₁（1+r）ⁿ+a₂（1+r）^n-1+…+a_n-1（1+r）²+a_n（1+r）．②
②-①，得rT_n=a₁（1+r）ⁿ+d[（1+r）^n-1+（1+r）^n-2+…+（1+r）]-a_n
=

d

r

[（1+r）^n-1-r]+a₁（1+r）ⁿ-a_n，
即T_n=

a1r+d

r2

（1+r）ⁿ-

d

r

n-

a1r+d

r2

如果記A_n=

a1r+d

r2

（1+r）ⁿ，B_n=-

d

r

n-

a1r+d

r2

，則T_n=A_n+B_n，
其中{A_n}是以

a1r+d

r2

（1+r）為首項，以1+r（r＞0）為公比的等比數列；{B_n}是以-

a1r+d

r2

-

d

r

為首項，-

d

r

為公差的等差數列．

點評：本題考查數列模型的構建，考查錯位相減法的運用，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是正確構建數列模型．