Question

在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，現沿AC折成二面角D-AC-B，使BD為異面直線AD、BC的公垂線．
（1）求證：平面ABD⊥平面ABC；
（2）當a為何值時，二面角D-AC-B為45°．

Answer 1

（1）證明：由題知BC⊥BD，又BC⊥AB，
∴BC⊥面ABD，
∴面ABC⊥面ABD、
（2）解：作DE⊥AB于E，
由（1）知DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，連DF，則DF⊥AC，
∴∠DFE為二面角D-AC-B的平面角，
即∠DFE=45°．EF=DE=DF，
∵DF=，AF=且=，
解得a²=，a=．
分析：（1）要證平面ABD⊥平面ABC，只需證明平面ABC內的直線BC，垂直平面ABD內的兩條相交直線BD、AB即可；
（2）說明∠DFE為二面角D-AC-B的平面角，利用二面角D-AC-B為45°，然后解三角形求出a的值即可．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，是中檔題．