Question

空間四邊形ABCD中，線段AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、R、S，則在下面的命題中：
（1）P、Q、R、S四點共面；
（2）PR與QS不相交；
（3）當(dāng)AC=BD時，四邊形PQRS是菱形；
（4）當(dāng)AC⊥BD時，四邊形PQRS是矩形．
正確命題的個數(shù)為（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由已知中空間四邊形ABCD中，線段AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、R、S，根據(jù)三角形中位線定理，及平行四邊形的判定定理，我們易判斷出四邊形PQRS為平行四邊形，進(jìn)而再由平行四邊形的性質(zhì)及矩形和菱形的判定定理，逐一分析四個結(jié)論，即可得到答案．

解答：解：∵空間四邊形ABCD中，線段AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、R、S，
∴PQ∥AC，RS∥AC，且PQ=RS=

1

2

AC，PS∥BD，QR∥BD，PS=QR=

1

2

BD
故（1）P、Q、R、S四點共面，正確；
（2）PR與QS為平行四邊形的兩條對角線，故相交，（2）不正確；
（3）當(dāng)AC=BD時，PQ=RS=PS=QR，四邊形PQRS是菱形，正確；
（4）當(dāng)AC⊥BD時，PQ⊥PS，四邊形PQRS是矩形，正確．
故選C

點評：本題考查的知識點是平面的基本性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的判定，其中根據(jù)平行四邊形的判定定理，得到四邊形PQRS為平行四邊形，是解答本題的關(guān)鍵．