Question

設f（x）為定義在區間I上的函數．若對I上任意兩點x₁，x₂（x₁≠x₂）和實數λ∈（0，1），總有f（λx₁+（1-λ）x₂）＜λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），則稱f（x）為I上的嚴格下凸函數．若f（x）為I上的嚴格下凸函數，其充要條件為：對任意x∈I有f^∥（x）＞0成立（f^∥（x）是函數f（x）導函數的導函數），則以下結論正確的有______．
①f（x）=

2x+2014

3x+7

，x∈[0，2014]是嚴格下凸函數．
②設x₁，x₂∈（0，

π

2

）且x₁≠x₂，則有tan(

x1+x2

2

)＞

1

2

(tanx1+tanx2)
③若f（x）是區間I上的嚴格下凸函數，對任意x₀∈I，則都有f（x）＞f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）
④f（x）=

1

6

x3+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

））是嚴格下凸函數．

Answer 1

①因為f（x）=

2x+2014

3x+7

=

2 3 (3x+7)+2014- 14 3

3x+7

=

2

3

+

6028

9x+21

，所以f'（x）=-

6028×9

(9x+21)2

=-

6028

(3x+7)2

，
所以f^∥（x）=

2×3×6028

(3x+7)3

，當x∈[0，2014]時，f^∥（x）＞0恒成立，所以①正確．
②若x1=

π

3

，x2=

π

6

，則

1

2

(tanx1+tanx2)=

1

2

(tan

π

3

+tan

π

6

)=

1

2

(

3

3

+

3

)=

2 3

3

，而

1

2

(tan?

x1+x2

2

=tan?

π 3 + π 6

2

)=tan?

π

4

=1，
所以有tan(

x1+x2

2

)＞

1

2

(tanx1+tanx2)不成立，所以②錯誤．
③因為f（x）=x²為嚴格下凸函數，則f'（x）=2x，f^∥（x）=2＞0恒成立，當x₀=1時，f′（1）=2，f（1）=1，
此時不等式等價為，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，當x=0時，f（0）=0＞-1不成立，所以③錯誤．
④若f（x）=

1

6

x3+sinx，則f'（x）=

1

2

x2+cosx，f^∥（x）=x-sinx，當x∈[

π

6

，

π

3

]，設y=x-sinx，則y'=1-cosx≥0，所以函數f^∥（x）=x-sinx單調遞增，
所以f^∥（

π

6

）=

π

6

-sin

π

6

=

π

6

-

1

2

＞0），所以f（x）=

1

6

x3+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

））是嚴格下凸函數，所以④正確．
故答案為：①④．