Question

（2005•海淀區(qū)二模）如圖所示，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，∠BCD=α（0＜α＜

π

2

）．把△ABC沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD
（Ⅰ）求點(diǎn)B′到平面ACD的距離（用α表示）；
（Ⅱ）當(dāng)AD⊥B′C時(shí)，求三棱錐B′-ACD的體積；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)B′在平面ACD內(nèi)的射影為線段CD的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AD與B′C所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）作B'E⊥CD于E，由面面垂直的性質(zhì)證出B'E⊥平面ACD，得B'E長(zhǎng)就是點(diǎn)B'到平面ACD的距離，然后在Rt△B'EC中利用三角函數(shù)的定義，即可算出B'E=BCsinα=sinα；
（II）根據(jù)三垂線定理，證出AD⊥CD．等腰Rt△ABC中，根據(jù)D為AB的中點(diǎn)且α=45°，算出S_△ACD和B'E長(zhǎng)，利用三棱錐體積公式，即可算出B′-ACD的體積；
（III）作CF∥DA，并作EF⊥CF于F，連接B'F得∠B'CF為B'C與AD所成的角．利用等腰△B'CD算出∠B'DC=α=67.5°，根據(jù)二倍角的余弦公式算出CF=B'C（cos67.5°）²=

2- 2

4

，利用三垂線定理證出B'F⊥CF，在Rt△B'CF中，利用三角函數(shù)的定義算出cos∠B′CF的值，從而可得B'C與AD所成的角為arccos

2- 2

4

．

解答：解：（I）作B'E⊥CD于E
∵平面B'CD⊥平面ACD，平面B'CD∩平面ACD=CD，
∴B'E⊥平面ACD，可得B'E長(zhǎng)就是點(diǎn)B'到平面ACD的距離
∵Rt△B'EC中，∠B'CE=α，BC=1，
∴B'E=BCsinα=sinα
（II）∵B'E⊥平面ACD，∴CE為B'C在平面ACD內(nèi)的射影，
又∵AD⊥B'C，∴AD⊥CE即AD⊥CD
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴D為AB的中點(diǎn)，且α=45°
∴S_△ACD=

1

2

•

1

2

AC×BC=

1

4

，B'E=sin45°=

2

2

∴三棱錐B′-ACD的體積V=

1

3

×

1

4

×

2

2

=

2

24

（III）∵E為CD中點(diǎn)，且B'E⊥CD，
∴等腰△B'CD中，B'D=B'C=1，∠B'DC=α=67.5°
作CF∥DA，并作EF⊥CF于F
連接B'F，則∠B'CF為B'C與AD所成的角．…（11分）
在Rt△FCE中，∠FCE=∠BDC=∠B'DC=∠B'CD=α=67.5°
∴CF=B'C（cos67.5°）²=

1+cos135°

2

=

2- 2

4

∵B'E⊥平面ACD，EF⊥CF，
∴B'F⊥CF
∴Rt△B'CF中，cos∠B′CF=

CF

B′C

=

2- 2

4

＞0，可得∠B’CF=arccos

2- 2

4

即B'C與AD所成的角為arccos

2- 2

4

點(diǎn)評(píng)：本題將等腰直角三角形紙片折疊，求空間距離和空間角的大小，著重考查了三垂線定理、面面垂直的性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法和錐體的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．