Question

新晨投資公司擬投資開發某項新產品，市場評估能獲得萬元的投資收益.現公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于萬元，同時不超過投資收益的.
（1）設獎勵方案的函數模型為，試用數學語言表述公司對獎勵方案的函數模型的基本要求.
（2）下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數模型：
①；    ②
試分別分析這兩個函數模型是否符合公司要求.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）根據題中的條件對函數的基本要求轉化為數學語言；（2）對題中的兩個函數是否滿足（1）中的三個限制條件進行驗證，對于函數上述兩個函數是否滿足題中的條件，主要是研究函數的單調性與最值以及恒成立問題，可以利用基本函數的單調性以及利用導數來進行求解.
試題解析：（1）由題意知，公司對獎勵方案的函數模型的基本要求是：
當時，
①是增函數；②恒成立；③恒成立；
（2）①對于函數模型：當時，是增函數，
則顯然恒成立；
而若使函數在上恒成立，整理即恒成立，而，
∴不恒成立．故該函數模型不符合公司要求.
②對于函數模型：
當時，是增函數，則．∴恒成立．
設，則.
當時，，
所以在上是減函數，
從而.
∴，即，∴恒成立．
故該函數模型符合公司要求．