Question

某段高速公路的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統計資料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料可知y對x有線性相關關系．試求：
（Ⅰ）線性回歸方程；
（Ⅱ）估計使用年限10年時，維修費用是多少萬元？
參考公式：

b

=

n i-1 xiyi-n . x . y

n i-1 x 2 i n -2 x

，

a

=

.

y

-

b

.

x

．

Answer 1

分析：（1）因為線性回歸方程

?

y

=

?

b

x+

?

a

，經過定點（

.

x

，

.

y

），根據已知中的數據，利用最小二乘法，可得回歸直線方程；
（2）將x=10代入線性回歸方程，即得維修費用

解答：解：（Ⅰ）由高速公路的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元）表可得：

.

x

=

1

5

（2+3+4+5+6）=4

.

y

=

1

5

（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5…（2分）

5

i=1

x

2 i

=（2²+3²+4²+5²+6²）=90

5

i=1

x

i

yi=（4.4+11.4+22+32.5+42）=112.3…（5分）
∴

?

b

=

112.3-5×4×5

90×5×42

=1.23

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

=5-1.23×4=0.08
∴線性回歸方程為

?

y

=1.23x+0.08
（II）由（I）中

?

y

=1.23x+0.08
當x=10時，

?

y

=1.23×10+0.08=12.38
即估計使用10年時的維修費用為12.38萬元．…（12分）

點評：本題以實際問題為載體，考查回歸分析的初步應用，解題的關鍵是利用線性回歸方程

?

y

=

?

b

x+

?

a

，經過定點（

.

x

，

.

y

）