Question

已知函數的定義域為M．
（1）求M；
（2）當x∈M時，求f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＞-3）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意列出不等式組，求出解集再用區間表示；
（2）用配方法對解析式變形，設t=2^x由（1）的結果求出t的范圍，則原函數變成關于t的二次函數，再根據對稱軸和t的范圍進行分類，由二次函數的性質求出對應的最小值．
解答：解：（1）由題意得，，，解得-1≤x＜1
∴函數的定義域M=[-1，1）．
（2）f（x）=a•2^x+2+3•4^x）=4a•2^x+3•2^2x=3-a²，
由（1）知，x∈[-1，1），設t=2^x，則t∈[，2），
函數變為g（t）=3-a²，又∵a＞-3，∴，
①若≤時，即a≥-，函數g（t）在[，2）上時增函數，
∴f（x）的最小值是g（）=3-a²=2a+，
②若＜＜2時，即-3＜a＜-，當t=時，f（x）取到最小值是-a²．
綜上，當a≥-時，f（x）的最小值是2a+；當-3＜a＜-，f（x）的最小值是-a²．
點評：本題是一道綜合題，考查了求函數的定義域和最值，用了對數函數、指數函數和二次函數的性質，利用換元法對函數解析式進行轉化后再求函數的最值，注意換元后的定義域和對稱軸的位置．