Question

（本小題滿分14分）

已知點P （4，4），圓C：與橢圓E：的一個公共點為A（3，1），F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線與圓C相切。

（1）求m的值與橢圓E的方程；

（2）設D為直線PF₁與圓C 的切點，在橢圓E上是否存在點Q ，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由。

Answer 1

解(1)∵點A(3,1)在圓C上,∴

   又,∴                             …………………………2分

   設,∵

   ∴直線的方程為          …………………………4分

  ∵直線與圓C相切

  ∴                      …………………………6分

  即

由 解得

∴橢圓E的方程是                     …………………………7分

(2) 直線的方程為

由得切點                …………………………10分

又∵P(4,4), ∴線段PD的中點為M(2,3)

又∵橢圓右焦點

又,∴線段PD的垂直平分線的斜率為 -2         …………………………12分

∵,∴線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個交點

即在橢圓上存在兩個點Q,使△PDQ是以PD為底的等腰三角形. ………………………14分

(或與過點M的橢圓右側切線斜率比較說明)