Question

【題目】已知f（x）＝axex﹣lnx﹣x．

（Ⅰ）若f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）已知a＝1，若對(duì)任意的x＞0，均有f（x）＞cx2﹣2x+1成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0＜a．（Ⅱ）c≤e．

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)，得，分兩種情況，討論函數(shù)單調(diào)性，求出最值，再結(jié)合函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求出 的取值范圍．
（Ⅱ）因?yàn)?/span> f（x）≥cx2-2x+1對(duì)恒成立，則，得．再證明，當(dāng)時(shí)，f，對(duì)恒成立，即可．

（Ⅰ），

若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意．

若a＞0，y＝axex在（0，+∞）上遞增，必存在唯一的x0∈（0，+∞），使得ax0e1，

此時(shí)，x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，且當(dāng)x→0+ 時(shí)，f（x）→+∞，

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，且當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，

故f（x）min＝f（x0）＝ax0elnx0﹣x0，

因?yàn)?/span>ax0e1，可得lna+lnx0+x0＝0，

所以f（x）max＝1+lna，

由題意得，1+lna＜0，得a∈（0，），

綜上，可得所求的取值范圍是0＜a．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>f（x）≥cx2﹣2x+1對(duì)x＞0恒成立，

則f（1）≥c﹣2+1，得c≤e．

下證，當(dāng)c≤e時(shí)，f（x）≥cx2﹣2x+1，對(duì)x＞0恒成立

事實(shí)上f（x）≥cx2﹣2x+1xex﹣lnx+x﹣1﹣cx2≥0，

注意到lnx≤x﹣1，故只需證xex﹣cx2≥0，

只需證ex≥cx，因?yàn)?/span>ex≥ex≥cx，結(jié)論得證，

綜上可知c的取值范圍是c≤e．