Question

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

4π

3

；
（實驗班必做題）
函數f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0 成立，則a=

（1，4]

．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成，上面是一個圓錐，其高為2，底面半徑為1；下面是一個與圓錐底面同底的半球，半徑為1．據此即可計算出答案；
（2）利用導數和分類討論方法即可求出．

解答：解：（1）由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成，上面是一個圓錐，其高為2，底面半徑為1；下面是一個與圓錐底面同底的半球，半徑為1．
∴V=

1

3

×π×12×2+

1

2

×

4

3

π×13=

4π

3

；
（2）利用分類討論方法：
函數f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0 成立?[f（x）]_min≥0，x∈[-1，1]．
由已知可得：f^′（x）=3ax²-3，
①當a≤0時，f^′（x）＜0，∴函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，與a≤0矛盾，故舍去；
②當0＜a≤1時，

1

a

≥1，由x∈[-1，1]可得f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)≤0，即函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，無解；
③當a＞1時，0＜

1

a

＜1，由x∈[-1，1]可得f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)≥0，即函數f（x）在[-1，1]上單調遞增，∴[f（x）]_min=f（-1）=4-a≥0，解得a≤4，∴1＜a≤4；
綜上可知：1＜a≤4．

點評：由三視圖正確恢復原幾何體和熟練掌握利用導數研究函數的單調性及分類討論的思想方法是解題的關鍵．