Question

某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

 

Answer 1

（1）（2）見解析

【解析】方法一：(1)選擇②式，計算如下：

sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°＝1－ ＝.

(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ .

證明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋cos2α＋ sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.

方法二：(1)同方法一．

(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ .

證明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝ －sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝ － cos 2α＋ ＋ (cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－ sin αcos α－ sin2α

＝ － cos 2α＋＋ cos 2α＋ sin 2α－ sin 2α－ (1－cos 2α)

＝1－cos 2α－ ＋ cos 2α＝