Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足4S_n=(a_n+1)².
(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b_n=，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n,求T_n的最小值.

Answer 1

（1）a_n=2n-1；（2）.

試題分析：(1)本小題可化歸為a_n+1=S_n+1-S_n，整理為4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n再因式分解為2(a_n+1+a_n)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n)，即可得到a_n+1-a_n=2，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可知{a_n}為等差數(shù)列，易得其通項(xiàng)公式；（2）本小題b_n通項(xiàng)公式先進(jìn)行裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法可求得T_n的值，可證明T_n+1>T_n，易知{T_n}為遞增數(shù)列，則最小值為T₁.
試題解析：(1)因?yàn)?a_n+1)²=4S_n,所以S_n=,S_n+1=.
所以S_n+1-S_n=a_n+1=即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n, ∴2(a_n+1+a_n)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n).
因?yàn)閍_n+1+a_n≠0,所以a_n+1-a_n=2,即{a_n}為公差等于2的等差數(shù)列.由(a₁+1)²=4a₁,解得a₁=1,所以a_n=2n-1.
(2)由(1)知b_n==,∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
∵T_n+1-T_n=
∴T_n+1>T_n，∴數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，∴T_n的最小值為T₁=.與的關(guān)系：，等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)相消法，遞增數(shù)列的定義.