Question

給出下列四個命題，其中正確命題的序號是

 

①函數y=sin(2x+

π

6

)的圖象可由函數y=sin2x的圖象向左平移

π

6

單位得到；
②△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知A=60°，a=7，則b+c不可能等于15；
③若函數f（x）的導數為f'（x），f（x₀）為f（x）的極值的充要條件是f'（x₀）=0；
④在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象只有一個公共點．

Answer 1

分析：由圖象平移變換的規則判斷出①錯；
由三角函數的正弦定理及三角函數的有界性判斷出②對；
利用極值點的定義判斷出③錯；
利用構造新函數，研究函數的單調性，判斷出④對．

解答：解：對于①，要得到y=sin(2x+

π

6

)的圖象，可由函數y=sin2x的圖象向左平移

π

12

單位得到，故①錯；
對于②，有正弦定理得

7

sin60°

=

b

sinB

=

c

sinC

，∴b=

14

3

sinB；c=

14

3

sinC 
∴b+c=

14

3

(sinB+sinC)=

14

3

(sinB+sin(120°-B))=14sin(B+30°)≤14，故②對．
對于③，極值點處的導數為且導函數左右兩邊的符號相反，故③錯
對于④，令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0，所以g（x）為減函數，且g（0）=0，所以g（x）=0僅有一個根0，所以y=sinx與y=x僅有一個交點．故④對，
故答案為：②④．

點評：在解決圖象的平移時，特別要注意平移的單位是：一個自變量x上加、減的單位、解決極值點問題時要注意：極值點處的導數不但為0，并且左右兩邊的導函數符號要相反．