Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的正整數n都有S_n=2a_n-3n．
（1）設b_n=a_n+3，求證：數列{b_n}是等比數列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）通過遞推關系式求出a_n與a_n+1的關系，推出{a_n+3}即數列{b_n}是等比數列，求出數列{b_n}的通項公式即可求出{a_n}的通項公式；
（2）寫出數列{na_n}的通項公式，然后寫出前n項和的表達式通過錯位相減法求解即可．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-3n，對于任意的正整數都成立，
∴S_n+1=2a_n+1-3n-3，
兩式相減，得a _n+1=2a_n+1-2a_n-3，即a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
所以數列{b_n}是以2為公比的等比數列，
由已知條件得：S₁=2a₁-3，a₁=3．
∴首項b₁=a₁+3=6，公比q=2，
∴a_n=6•2^n-1-3=3•2ⁿ-3．
（2）∵na_n=3×n•2ⁿ-3n
∴S_n=3（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-3（1+2+3+…+n），
2S_n=3（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹）-6（1+2+3+…+n），
∴-S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）+3（1+2+3+…+n）
=3×

2(2n-1)

2-1

-6n•2n+

3n(n+1)

2

∴S_n=(6n-6)•2n+6-

3n(n+1)

2

點評：本題考查數列遞推式，等比關系的確定，數列的求和的方法---錯位相減法的應用，高考參考題型，考查計算能力．