Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠ABC=60°，側棱長為

2

2

a，若經過AB₁且與BC₁平行的平面交上底面線段A₁C₁于點E．
（1）試求AE的長；
（2）求證：A₁C⊥平面AB₁E．

Answer 1

分析：（1）連接A₁B交AB₁于點O，連接OE，根據三角形中位線定理得OE∥BC₁，根據直線與平面平行的判定定理即可得出BC₁∥平面AB₁E，從而有點E為線段A₁C₁的中點，從而得出AE的長．
（2）由題意有△A₁B₁C₁為邊長為a的正三角形，再結合點E為線段A₁C₁的中點得B₁E⊥A₁C₁又根據面面垂直的性質得到B₁E⊥A₁C，最后利用在平面ACC₁A₁中由平幾知識結合線面垂直的判定可得A₁C⊥平面AB₁E．

解答：解：（1）AE的長為：AE=

3 a

2

，即點E為線段A₁C₁的中點．理由如下：
連接A₁B交AB₁于點O，連接OE，則有OE∥BC₁，
又∵OE?平面AB₁E，BC₁?平面AB₁E，∴BC₁∥平面AB₁E--------（6分）
（2）由題意有△A₁B₁C₁為邊長為a的正三角形，
又點E為線段A₁C₁的中點，∴B₁E⊥A₁C₁
又平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，
∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，∴B₁E⊥A₁C．------（10分）
在平面ACC₁A₁中由平幾知識可得A₁C⊥AE，又B₁E∩AE=E，
所以A₁C⊥平面AB₁E．------------------------（14分）

點評：本題考查空間線面、線線垂直的判定及互相轉化，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．