Question

【題目】若函數和滿足：在區間上均有定義；函數在區間上至少有一個零點，則稱和在上具有關系W．

若，，判斷和在上是否具有關系W，并說明理由；

若和在上具有關系W，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】

（1）根據[a，b]上至少有一個零點，則稱f（x）和g（x）在區間[a，b]上具有關系G．利用特殊值但判斷出即可；（2）根據在區間[a，b]上具有關系G的性質，結合x∈[1，4]，利用二次函數的性質，討論m即可．

（1）f（x）和g（x）在[1，3]具有關系G．

令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣2，

∵h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0；

故h（1）h（2）＜0，又h（x）在[1，2]上連續，

故函數y=f（x）﹣g（x）在區間[1，2]上至少有一個零點，

故f（x）和g（x）在[1，3]上具有關系G；

（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，

當m≤0時，易知h（x）在[1，4]上不存在零點，

當m＞0時，h（x）=，

當1≤x≤2時，

由二次函數知h（x）在[1，2]上單調遞減，

故，

故m∈[，3]，

當m∈（0，）∪（3，+∞）時，

若m∈（0，），則h（x）在（2，4]上單調遞增，

而h（2）＞0，h（4）＞0；

故沒有零點；

若m∈（3，+∞），則h（x）在（2，4]上單調遞減，

此時，h（2）=﹣4m+1＜0；

故沒有零點；

綜上所述，

若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有關系G，

則m∈[，3]．