Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和滿足S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）證明{a_n}是等差數列并求數列的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：令n=1可得a₁=1或a₁=2，因為a₁=S₁＞1，所以a₁=2．
（Ⅱ）由a_n+1=S_n+1-S_n=，可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，根據題意可得：a_n+1=-a_n不成立．所以a_n+1-a_n-3=0．再集合等差數列的定義可得答案．

解答：解：（Ⅰ）解：由題意可得：a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，
因為a₁=S₁＞1，所以a₁=2．
（Ⅱ）由a_n+1=S_n+1-S_n=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，
因為數列{a_n}的各項均為正數，
所以a_n+1=-a_n不成立，故舍去．
所以a_n+1-a_n-3=0．
根據等差數列的定義可得：{a_n}是公差為3，首項為2的等差數列，
所以{a_n}的通項為a_n=3n-1．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握等差數列的定義域等差數列的通項公式，以及利用賦值法解決數列問題．