Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，曲線C1的參數方程為 （α為參數），曲線C2的參數方程為 （β為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C1和曲線C2的極坐標方程；
（2）已知射線l1：θ=α（ ＜α＜ ），將射線l1順時針方向旋轉 得到l2：θ=α﹣ ，且射線l1與曲線C1交于兩點，射線l2與曲線C2交于O，Q兩點，求|OP||OQ|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C1的參數方程為 （α為參數），

∴曲線C1的直角坐標方程為（x﹣1）2+y2=1，

即x2+y2﹣2x=0，

∴曲線C1的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

∵曲線C2的參數方程為 （β為參數），

∴曲線C2的普通方程x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，

∴曲線C2的極坐標方程為ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．

（2）解：設點P的極坐標為P（ρ1，α），即ρ1=2cosα，

設點Q的坐標為Q（ ），即 ，

∴|OP||OQ|=ρ1ρ2=2cos =4cosα（ sin ）

=2 sinαcosα﹣2cos2α= ﹣cos2α﹣1=2sin（2 ）﹣1，

∵α∈（ ），∴ ∈（ ），

當2 = ，即 時，|OP||OQ|取最大值1．

【解析】（1）由曲線C1的參數方程能求出曲線C1的直角坐標方程，從而能求出曲線C1的極坐標方程．由曲線C2的參數方程能求出曲線C2的直角坐標方程，從而能求出曲線C2的極坐標方程．（2）設點P的極坐標為P（ρ1 ， α），即ρ1=2cosα，設點Q的坐標為Q（ ），即 ，mh|OP||OQ|=ρ1ρ2=2cos =2sin（2 ）﹣1，能求出|OP||OQ|的最大值．