Question

已知函數f(x)=，記數列{a_n}的前n項和為S_n,且有a₁=f(1),當n≥2時，S_n- (n²+5n-2).

(1)計算a₁,a₂,a₃,a₄;

(2)求出數列{a_n}的通項公式，并給予證明.

Answer 1

解析:(1)S_n-=(n²+5n-2).?

∴S_n+a_n= (n²+5n+2).?

a₁=2,a₂=3,a₃=4,a₄=5.

(2)由(1)猜想a_n=n+1.?

①當n=1時，a₁=2，成立.?

②假設n=k時，成立，?

∴S_k=(k²+5k+2)-a_k,a_k=k+1.?

當n=k+1時，S_k+1=((k+1)²+5(k+1)+2)-a_k+1 ，?

∴S_k+1-S_k=a_k+1=(k²+7k+8-k²-5k-2)-a_k+1+a_k.?

∴2a_k+1= (2k+6)+a_k.

∴a_k+1=k+2=(k+1)+1.?

∴當n=k+1時,也成立.?

∴由①②得n∈N^*時等式均成立.