Question

（2010•天津模擬）已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數，且a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n²+S_n•a_n，若數列{b_n}為等比數列，求a的值；
（Ⅲ）設c_n=log_aa_2n-1，求數列{a_2n•c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n=a（S_n-a_n+1）可得S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）（n≥2），利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1可得數列是等比數列，根據等比數列的通項公式可求
（II）由（I）可求a_n，S_n代入可求b_n的通項，然后由數列b_n為等比數列 可得b₂²=b₁b₃，從而可求a
（III）由C_n=log_aa_2n-1=2n-1可得a_2n•C_n=（2n-1）•a²ⁿ，則T_n=a²+3a⁴+…+（2n-1）a²ⁿ，考慮利用錯位相減可求和

解答：解：（I）∵S_n=a（S_n-a_n+1）
∴S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）（n≥2）
兩式相減可得，S_n-S_n-1=a（S_n-a_n+1-S_n-1+a_n-1-1）（n≥2）
即a_n=a[（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1]=a•a_n-1
∴

an

an-1

=a（n≥2）
∵S₁=a（s₁-a₁+1）
∴a₁=a
∴數列{a_n}是以a為首項以a為公比的等比數列
∴a_n=aⁿ
（II）∵S_n=a（S_n-aⁿ+1）
∴S_n=a×

1-an

1-a

∴b_n=a_n²+S_n•a_n=an(an+

a(1-an)

1-a

）
∵b_n為等比數列∴b₂²=b₁b₃
∴a4[a2+

a(1-a2)

1-a

] 2=2a²•a³[a3+

a(1-a3)

1-a

]
∵a≠0，a≠1
解可得a=

1

2

（III）∵C_n=log_aa_2n-1=2n-1，a_2n•C_n=（2n-1）•a²ⁿ
∴T_n=a²+3a⁴+…+（2n-1）a²ⁿ
a²T_n=a⁴+3a⁶+…+（2n-3）a²ⁿ+（2n-1）•a²ⁿ⁺²
兩式相減可得，（1-a²）T_n=a²+2（a⁴+a⁶+…+a²ⁿ）-（2n-1）•a²ⁿ⁺²
=a2+

2a4(1-a2n-2)

1-a2

-(2n-1)•a2n+2

∴T_n=

a2(1+a2)-(2n+1)•a2n+2+(2n+1)•a2n+4

(1-a2) 2

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，等比數列的通項公式及的定義的應用，及數列求和的錯位相減求和，本題的計算量比較大，對考生的計算能力具有一定的要求