Question

【題目】若函數為定義域上的單調函數，且存在區間(其中，使得當時，的取值范圍恰為,則稱函數是上的正函數，區間叫做函數的等域區間．

（1）已知是上的正函數,求的等域區間；

（2）試探求是否存在，使得函數是上的正函數？若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）是[0，+∞）上的正函數，然后根據正函數的定義建立方程組，解之可求出f（x）的等域區間；
（2）根據函數g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函數建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉化成關于a的方程在上有解即可.

詳解：（1）在[0,+∞)上單調遞增，

所以當x∈[a,b]時，

即

解得a=0，b=1，

故函數f(x)的“等域區間”為[0,1]；

（2）假設存在，使得函數是上的正函數，且此時函數在上單調遞減,

存在使得： （*）

兩式相減得，

代入上式：即關于的方程 在上有解,

方法①參變分離：即,

令，所以

實數的取值范圍為 ,

方法②實根分布：令，即函數的圖像在內與軸有交點，

，解得,

方法③ ：（*）式等價于方程在上有兩個不相等的實根 ,

, .