Question

14、植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為

2000

（米）．

Answer 1

分析：設在第n顆樹旁放置所有樹苗，利用等差數列求和公式，得出領取樹苗往返所走的路程總和f（n）的表達式，再利用二次函數求最值的公式，求出這個最值．

解答：解：記公路一側所植的樹依次記為第1顆、第2顆、第3顆、…、第20顆
設在第n顆樹旁放置所有樹苗，領取樹苗往返所走的路程總和為f（n） （n為正整數）
則f（n）=[10+20+…+10（n-1）]+[10+20+…+10（20-n）]
=10[1+2+…+（n-1）]+10[1+2+…+（20-n）]
=5（n²-n）+5（20-n）（21-n）
=5（n²-n）+5（n²-41n+420）
=10n²-210n+2100
可得n=10或11時f（n）的最小值為2000米
故答案為2000

點評：本題利用數列求和公式，建立函數模型，再用二次函數來解題，屬于常見題型．