Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F為PC上一點，且
EF∥面PAD．
（I）證明：F為PC的中點；
（II）若AB=2，求二面角C-PD-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A為坐標原點，AB，AD，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，設

PF

=λ

PC

，AB=2a，設我們分別求出向量

EF

的坐標及平面PAD的法向量的坐標，根據兩個向量垂直數量積為0，我們可以構造一個關于λ的方程，解方程求出λ值，即可判斷F點的位置；
（II）若AB=2，我們分別求出平面PCD的一個法向量和平面PDE的一個法向量，然后代入向量夾角公式，即可得到答案．

解答：證明：（I）以A為坐標原點，AB，AD，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，
設AB=2a
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（a，0，0），
∴設

PF

=λ

PC

=（2aλ，λ，-λ），則

EF

=（-a+2aλ，λ，1-λ）
∵

AB

=（2a，0，0）為平面PAD的一個法向量，且EF∥面PAD
∴

EF

•

AB

=0
即2a•（-a+2aλ）=0，
∴λ=

1

2

故F為PC的中點；
解：（II）若AB=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（1，0，0），
則

PD

=（0，1，-1），

PC

=（2，1，-1），

PE

=（1，0，-1）
設

m

=（a，b，c）為平面PCD的一個法向量
則

2a+y-z=0 y-z=0

，
則

m

=（0，1，1）為平面PCD的一個法向量
設

n

=（x，y，z）為平面PDE的一個法向量
則

y-z=0 x-z=0

則

n

=（1，1，1）為平面PDE的一個法向量
設二面角C-PD-E的平面角為θ
則cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

6

3

即二面角C-PD-E的平面角的余弦值為

6

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的性質，其中建立空間坐標系，將線面平行問題及二面角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．