Question

如圖，軸截面為邊長是2的正方形的圓柱OO₁內有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑．∠AOC=60°
（1）求三棱柱AOC-A₁O₁C₁的體積；
（2）證明：平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）求得S_△AOC，利用棱柱的體積公式計算即可；
（2）可先證得BC⊥面AA₁C₁C，再利用面面垂直的判定定理即可證得．

解答：解：（1）由題意知AO=OC=1，又∠AOC=60°，
∴S_△AOC=

1

2

•AO•OC•sin60°=

3

4

，
又三棱柱AOC-A₁O₁C₁的高h=AA₁=2，設三棱柱AOC-A₁O₁C₁的體積為V，
則V=S_△AOC•AA₁=

3

4

•2=

3

2

；
（2）∵AA₁⊥BC，AC⊥BC，
∴BC⊥面AA₁C₁C，
又BC?平面BB₁C₁C，
∴面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查棱柱的體積，突出考查分析與證明的能力，屬于中檔題．