Question

給出下列命題：①若a，b∈R⁺，a≠b，則a³+b³＞a²b+ab²；②若a，b∈R⁺，a＜b，則

a+m

b+m

＜

a

b

；③若

a

c2

＞

b

c2

，則ln a＞ln b；
④當x∈(0，

π

2

)時，sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；其中正確命題的個數為（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

分析：對于三個命題分別判斷，正確的給出證明，錯誤的能舉出反例，是解答這類題目的重要方法，另外記住一些結論對捷達選擇或者填空題很有幫助．本題要一一作出解答．

解答：解：①∵a，b∈R⁺，a≠b，∴a+b＞0，（a-b）²＞0，∴a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）＞0，∴a³+b³＞a²b+ab²，此命題正確；
②∵a，b∈R⁺，a＜b，∴b-a＞0，∴

a+m

b+m

-

a

b

=

b(a+m)-a(b+m)

b(b+m)

=

m(b-a)

b(b+m)

＞0，∴

a+m

b+m

＞

a

b

，命題

a+m

b+m

＜

a

b

不正確；本題可以舉出反例如：設a=2，b=3，m=1，可驗證命題不正確；
③反例設a=-1，b=-2，

a

c2

＞

b

c2

成立，但是ln a，ln b均無意義；更談不上ln a＞ln b了；
④設t=sinx∈（0，1），則sinx+

2

sinx

=t+

2

t

≥2

t× 2 t

=2

2

，當且僅當t=

2

t

即sinx=

2

sinx

，sinx=

2

顯然不成立，此命題不正確．
綜上可知只有①正確．
故應選：B

點評：本題考查了命題的概念和命題的真假判斷，結合不等式知識，綜合考查了綜合法，分析法，反證法，比較作差法等不等式的證明方法；另外對均值不等式的應用題目設計很好地體現了學生容易出現的錯誤，很有針對性！