已知函數
.
(Ⅰ)若
時，求
的值域；
(Ⅱ)若存在實數
，當
時，
恒成立，求實數
的取值范圍.
（I）的值域為：
.（II）
.
解析試題分析：（I）將二次函數配方，結合拋物線的圖象便可得的值域.
（II）由恒成立得：
恒成立，
令
，
則只需
的最大值小于等于0.
由此得：
，令
則原題可轉化為：存在
，使得
.這又需要時
.接下來又對二次函數分情況討論，從而求出實數的取值范圍.
試題解析：（I）將二次函數配方得：
2分
該函數的圖象是一條開口向上的拋物線，頂點為
，
.
因為
，所以最大值為
，
∴的值域為：
6分
（II）由恒成立得：恒成立，
令，因為拋物線的開口向上，所以
，由
恒成立知：
8分
化簡得： 令
則原題可轉化為：存在，使得 即：當， 10分
∵
，
的對稱軸：
即：
時，
∴
解得：
②當
即：
時，
∴
解得：
綜上：
的取值范圍為： 13分
法二：也可，
化簡得：
有解.
，則
.
考點：1、二次函數；2、函數的最值；3、解不等式.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
新晨投資公司擬投資開發某項新產品，市場評估能獲得
萬元的投資收益.現公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金
（單位：萬元）隨投資收益
（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于
萬元，同時不超過投資收益的
.
（1）設獎勵方案的函數模型為
，試用數學語言表述公司對獎勵方案的函數模型的基本要求.
（2）下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數模型：
①
； ②
試分別分析這兩個函數模型是否符合公司要求.
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，求
的值.
．
，集合
,求
，
.
=
,
=
,若曲線
和曲線
都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線
.
,
,
,
的值;
時,
≤
,求
的取值范圍.
的定義域為
，且同時滿足以下三個條件：①
；②對任意的
，都有
；③當
時總有
.
的值；
時，恒有
.
；
.
，
時，解不等式
有最大值
，求實數
的值．
.若
的定義域為
，求實數
的取值范圍.