已知函數
，
.
（Ⅰ）若
與
在
處相切，試求的表達式；
（Ⅱ）若
在
上是減函數，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ)證明不等式： 
.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
（Ⅲ)見解析
解析試題分析：（Ⅰ）求導數，利用
與
在
處相切，可求的表達式；
（Ⅱ）
在
上是減函數，可得導函數小于等于
在上恒成立，分離參數，利用基本不等式，可求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）當x≥2時，證明
，當x＞1時，證明
，利用疊加法，即可得到結論．
試題解析：（Ⅰ）由于與在處相切
且
得：
2分
又
3分
（Ⅱ）
在上是減函數，
在上恒成立. 5分
即
在上恒成立，由
，
又
得 7分
（Ⅲ)由（Ⅱ）可得：當
時：
在上是減函數
當
時：
即
所以
從而得到：
10分
當
時：
當
時：
當
時：
當
時：
，
上述不等式相加得：
即
.（） 12分
考點：1、不等式的證明；2、利用導數研究函數的單調性；3、利用導數研究曲線上某點切線方程．
口算題卡北京婦女兒童出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)求f(x)在區間[t，t＋2](t＞0)上的最小值；
(3)對一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)＜g′(x)＋2恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知a，b為常數，a¹0，函數
．
（1）若a=2，b=1，求
在（0，+∞）內的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區間[1，2]上是增函數；
②若
，
，且在區間[1，2]上是增函數，求由所有點
形成的平面區域的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（
為常數），其圖象是曲線
．
（1）當
時，求函數
的單調減區間；
（2）設函數的導函數為
，若存在唯一的實數
，使得
與
同時成立，求實數
的取值范圍；
（3）已知點
為曲線上的動點，在點處作曲線的切線
與曲線交于另一點
，在點處作曲線的切線
，設切線
的斜率分別為
．問：是否存在常數
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線
相切于點M.A為上半圓弧上一點，過點A作的垂線，垂足為B．市園林局計劃在△ABM內進行綠化．設△ABM的面積為S(單位：
)，
(單位：弧度）．
(I)將S表示為
的函數；
(II)當綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積．
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；
在
上單調遞增；
，若直線PQ∥x軸，求P,Q兩點間的最短距離.
.
,求
在點
處的切線方程；
恒成立，求
的取值范圍.
.
在
和
處的切線互相平行，求
的值；
的單調區間；
，若對任意
，均存在
，使得
，求
．
的單調區間；
,
在區間
恒成立,求a的取值范圍．