Question

若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列中，，點在函數的圖象上，其中為正整數．

（1）證明數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；

（2）設（1）中“平方遞推數列”的前項積為，

即，求；

（3）在（2）的條件下，記，求數列的前項和，并求使的的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2） ；(3）．

【解析】

試題分析：（1）根據，得到，即是“平方遞推數列”．

進一步對兩邊取對數得 ，利用等比數列的定義證明.

（2）首先得到 ， 應用等比數列的求和公式即得.

(3）求通項、求和，根據，得到，再根據，即得解.

試題解析：（1）由題意得：，即 ，

則是“平方遞推數列”． 2分

對兩邊取對數得 ，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列． 4分

（2）由（1）知 5分

8分

(3） 9分

10分

又，即 11分

又，所以． 12分

考點：等比數列的定義、通項公式及求和公式，等差數列的求和公式.