Question

已知a＞0，a≠1，命題p：“函數(shù)f（x）=a^x+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減”，命題q：“關(guān)于x的不等式x2-ax+

1

8

＜0有實(shí)數(shù)解”，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的增減性求出命題p中a的范圍，再運(yùn)用一元二次不等式有解的條件求出命題q中a的范圍，最終結(jié)合復(fù)合命題的真假判斷方法來解決．

解答：解：命題p：“函數(shù)f（x）=a^x+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減”，
應(yīng)有：0＜a＜1，
命題q：“關(guān)于x的不等式x2-ax+

1

8

＜0有實(shí)數(shù)解”，
應(yīng)有：△=a2-

1

2

＞0，得a＜-

2

2

或a＞

2

2

，
又∵a＞0，a≠1，
∴a＞

2

2

且a≠1，
又∵p∧q為假命題，p∨q為真命題，
∴p，q命題一真一假，
（1）當(dāng)p真q假時(shí)，應(yīng)有：

0＜a＜1 0＜a≤ 2 2 或a=1

⇒0＜a≤

2

2

，
（2）當(dāng)p假q真時(shí)，應(yīng)有：

a＞1 a＞ 2 2 且a≠1

⇒a＞1，
綜上（1）（2）可得，a的取值范圍是(0，

2

2

]∪(1，+∞)，
故答案為：a的取值范圍是(0，

2

2

]∪(1，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題的真假判斷為載體，主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式有解的條件，應(yīng)當(dāng)熟練掌握．