【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若函數在點
處的切線的斜率為
，證明：當
時，
.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求得函數
的定義域以及導數
，分
、
、
三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；
（2）由已知條件求得
，可得
，由
得出
，令
，利用導數求得函數
在
上的最小值
，由此可證得結論.
（1）函數
的定義域為
，
.
，令
得
或
.
①當
時，即當時，
令
，得
；令
，得
或
.
此時，函數單調遞減區間為
，單調遞增區間為
和
；
②當
時，即當時，對任意的
，
，
此時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
③當
時，即當時.
令，得
；令，得
或
.
此時，函數的單調遞減區間為
，單調遞增區間為
和
.
綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；
當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
當時，函數單調遞減區間為，單調遞增區間為和；
（2）由已知條件得
，解得，
所以，，
要證即證，
令，其中
，
則
，令
，其中，
當時，
，
所以，函數
在區間上單調遞增，
，當
時，
，此時，函數單調遞減；
當時，
，此時，函數單調遞增.
所以，當時，函數取得最小值，即
.
因此，對任意的，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國古代的四書是指：《大學》、《中庸》、《論語》、《孟子》，甲、乙、丙、丁
名同學從中各選一書進行研讀，已知四人選取的書恰好互不相同，且甲沒有選《中庸》，乙和丙都沒有選《論語》，則名同學所有可能的選擇有______種.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為：（ ）
A.15.5尺B.12.5尺C.9.5尺D.6.5尺
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因此被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”的一個示意圖，整個圖形是一個圓面，其中黑色區域在
軸右側部分的邊界為一個半圓．給出以下命題：
①在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色部分的概率是
；
②當
時，直線
與白色部分有公共點；
③黑色陰影部分中一點
，則
的最大值為2；
④設點
，點
在此太極圖上，使得
，
的范圍是
．
其中所有正確結論的序號是（ ）
A.①②B.②③C.①③D.①④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高三十二班同學設計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案”（陰影區域）來預示在6月的高考中，同學們展翅高飛，其中
是過拋物線
的焦點
的兩條弦，且
，點
為
軸上一點，記
，其中
為銳角．
（1）求拋物線的方程；
（2）當“蝴蝶形圖案”的面積最小時，求的大小．
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