Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，F是拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為 ．
（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若點M的橫坐標為 ，直線l：y=kx+ 與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當 ≤k≤2時，|AB|2+|DE|2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知F（0， ），圓心Q在線段OF平分線y= 上，

因為拋物線C的標準方程為y=﹣ ，

所以 ，即p=1，

因此拋物線C的方程x2=2y．

（2）解：假設存在點M（x0， ），（x0＞0）滿足條件，

拋物線C在點M處的切線的斜率為

y′ = =x0．

令y= 得， ，

所以Q（ ），

又|QM|=|OQ|，

故 ，

因此 ．又x0＞0．

所以x0= ，此時M（ ）．

故存在點M（ ），使得直線MQ與拋物線C相切與點M．

（3）解：當x0= 時，由（Ⅱ）的Q（ ），⊙Q的半徑為：r= = ．

所以⊙Q的方程為 ．

由 ，整理得2x2﹣4kx﹣1=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=﹣ ，

所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．

由 ，整理得（1+k2）x2﹣ ，

設D，E兩點的坐標分別為（x3，y3），（x4，y4），

由于△= ＞0，x3+x4= ，x3x4= ．

所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2﹣4x3x4]= ，

因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）+ ，

令1+k2=t，由于△=16k2+8＞0 ，

≤k≤2，∴t≥

則 ，

所以|AB|2+|DE|2=t（4t﹣2）+ =4t2﹣2t+ ，

設g（t）=4t2﹣2t+ ，t ，因為g′（t）=8t﹣2﹣ ，

所以當t ，g′（t）≥g′（ ）=6，

即函數g（t）在t 是增函數，所以當t= 時，g（t）取最小值 ，

因此當k= 時，|AB|2+|DE|2的最小值為 ．

【解析】（1）通過F（0， ），圓心Q在線段OF平分線y= 上，推出求出p=1，推出拋物線C的方程．（2）假設存在點M（x0 ， ），（x0/span>＞0）滿足條件，拋物線C在點M處的切線的斜率為函數的導數，求出Q的坐標，利用|QM|=|OQ|，求出M（ ）．使得直線MQ與拋物線C相切與點M．（3）當x0= 時，求出⊙Q的方程為．利用直線與拋物線方程聯立方程組．設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達定理，求出|AB|2 ． 同理求出|DE|2 ， 通過|AB|2+|DE|2的表達式，通過換元，利用導數求出函數的最小值．