Question

已知函數=，其中a≠0．
（1）若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函數的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）的取值集合為．
（2）存在使成立．且的取值范圍為 ．

解析試題分析：（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設矛盾，又，故．
而令
當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時，
取最小值
于是對一切恒成立，當且僅當
．　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�
令則
當時，單調遞增；當時，單調遞減．
故當時，取最大值．因此，當且僅當即時，①式成立．
綜上所述，的取值集合為．
（Ⅱ）由題意知，
令則


令，則．
當時，單調遞減；當時，單調遞增．
故當，即
從而，又
所以
因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且．故當且僅當時， ．
綜上所述，存在使成立．且的取值范圍為 ．
考點：導數的運用
點評：主要是考查了導數在研究函數最值，以及函數的最值的運用，屬于難度題。