Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）
（1）當(dāng)x=1時(shí)有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="gaqiqu2" class="MathJye">[

1

n

，

1

m

]，證明：

f(m)

f(n)

=

n

m

（2）若b=4，c=-2時(shí)，對(duì)于給定正實(shí)數(shù)a有一個(gè)最小負(fù)數(shù)g（a），使得x∈[g（a），0]時(shí)，|f（x）|≤4恒成立，問(wèn)a為何值時(shí)，g（a）最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：（1）由x=1時(shí)有最大值1，及函數(shù)的值域，可知m≥1，從而[m，n]?[1，+∞）因此f（m）=

1

m

，f(n)=

1

n

，故可得證．
（2）f（x）=ax²+4x-2，顯然f（0）=-2，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，g（a）∈（-

2

a

，0），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，取g(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

2+ 4-2a

，從而有g(shù)（a）＞-12．
同理當(dāng)a≥2時(shí)，g（a）≥-3，故可得結(jié)論．

解答：解：（1）由條件得：a＜0，

1

m

≤1，即m≥1，
∴[m，n]?[1，+∞）∴f（m）=

1

m

，f(n)=

1

n

，
∴

f(m)

f(n)

=

n

m

（2）f（x）=a（x+

2

a

，顯然f（0）=-2，
對(duì)稱軸x=-

2

a

＜01，當(dāng)-2-

4

a

＜-4
，即0＜a＜2時(shí)，g（a）∈（-

2

a

，0），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，取g(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

2+ 4-2a

∵0＜a＜2∴g（a）＞-12，當(dāng)-2-

4

a

≥-4，即a≥2，g（a）＜-

2

a

，且f（g（a））=4令ax²+4x-2=4，
解得x=

-2± 4+6a

a

，取g（a）=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

∵a≥2，∴g（a）≥-3，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)．
綜上，當(dāng)a=2時(shí)，g（a）最小值為-3

點(diǎn)評(píng)：本題的（1）問(wèn)利用函數(shù)的值域及最大值，避免了討論，（2）應(yīng)注意合理的分類，要使g（a）最小，即那個(gè)使|f（x）|=4的x最小，越遠(yuǎn)離原點(diǎn)的負(fù)值．