Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C方程為為參數）
（Ⅰ）求過橢圓的右焦點，且與直線為參數）平行的直線l的普通方程．
（Ⅱ）求橢圓C的內接矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）將橢圓化成標準方程，得+=1，算出右焦點F（4，0），再將已知直線的斜率求出，得到所求直線l的點斜式方程，化簡即得直線l的普通方程．
（II）設點A（x，y）是橢圓上一點，由橢圓的對稱性得矩圓C的內接矩形ABCD面積S=4|xy|，代入參數方程的數據并用二倍角三角函數公式化簡得S=30sin2φ，最后結合正弦函數的最值，不難得到S的最大值．
解答：解：（I）由，消去參數得：+=1
∴橢圓表示焦點在x軸上的橢圓，且a²=25，b²=9，得c==4
由此，得橢圓的右焦點為F（4，0），
又∵已知直線的參數方程可化為普通方程：x-2y+2=0，
∴所求直線的斜率，得直線方程為y=（x-4），化簡得x-2y+4=0．
（II）設點A（x，y）是橢圓+=1上一點，
∴矩形ABCD面積S=4|xy|=60sinφcosφ=30sin2φ，
∵sin2φ≤1當時等號成立，
∴橢圓C的內接矩形ABCD面積最大為30．
點評：本題給出橢圓的參數方程，求它的焦點坐標并求內接矩形面積的最值，考查了橢圓的基本概念、直線的方程和三角函數的化簡與求最值等知識，屬于中檔題．