Question

【題目】已知定義在上的偶函數和奇函數,且.

（1）求函數,的解析式；

（2）設函數,記（,）.探究是否存在正整數,使得對任意的,不等式恒成立？若存在,求出所有滿足條件的正整數的值；若不存在,請說明理由.

參考結論：設均為常數,函數的圖象關于點對稱的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）,.（2）存在,.

【解析】

（1）用替換后,根據題中奇偶性,利用奇偶性性質得到方程組,即可解得答案。

（2）表達式中分子分母中的自變量格式統一,故可看作是平移后所得,找出其原函數,根據復合函數奇偶性判斷得到的奇偶性,從而得到對稱性,再反推得到的對稱情況,利用對稱的性質得到函數的表達式,再利用復合函數單調性判斷方法得到最小值,借此得到的取值范圍,再根據題目所給條件即可鎖定的取值。

解：（1）∵,

∴.

又為偶函數,為奇函數,

∴,

,

∴,.

（2）存在滿足條件的正整數n.

由題意可知：為奇函數,其圖象關于中心對稱,

∴函數的圖象關于點中心對稱,

即對,.

∵,

∴.

兩式相加,得

,

即.

∴.

由,

得,.

∵,

∴,

由此可得恒成立.

即對任意的恒成立.

令,,,則,

,,且,

則

∵,,∴.

則在上單調遞增,

∴在上單調遞增,

∴

∴.

又由已知,,

∴