Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)C。

   （1）證明：；

   （2）求的最大值，并求取得最大值時(shí)線段AB的長(zhǎng)。

Answer 1

解：

（Ⅰ）由題設(shè)知，F(，0)，C(－，0)，

設(shè)A(x­₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直線l方程為x＝my＋，

代入拋物線方程y²＝2px，得y²－2pmy－p²＝0．

y₁＋y₂＝2pm，y₁y₂＝－p²．                                                                     …4分

不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，則

tan∠ACF＝＝＝＝＝，

tan∠BCF＝－＝－，

∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．                                          …8分

（Ⅱ）如（Ⅰ）所設(shè)y₁＞0，tan∠ACF＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)y₁＝p時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，

并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．                                                 …12分