Question

【題目】已知數列滿足，且，

（1）求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（2）記，求；

（3）是否存在實數k，使得對任意都成立？若存在，求實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）存在且．

【解析】

（1）用等差數列的定義證明是等差數列，由可得；

（2）用裂項相消法求；

（3）假設存在實數k，使得對任意都成立，不等式變形為，只要求得的最小值即可，可先證是遞增的，然后可得最小值．

（1）因為，所以，即，所以，所以是等差數列，公差為2， ，

，所以．

（2）由（1），

所以．

（3）假設存在實數k，使得對任意都成立，

因為，

所以，

不等式化為，

，

設，

設，則，，

，所以，所以是遞增數列，

，

所以．

所以存在實數k，使得對任意都成立，且．