Question

（本題滿分為12分）

在四棱錐中，底面，,,,,是的中點．

（I）證明：；

（II）證明：平面；

（III）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）關鍵證明面，（II）平面.（III）

【解析】

試題分析：（I）證明：底面，.又面，

面，.                                                （3分）

（II）證明：,是等邊三角形，，又是 的中點，，又由（1）可知，

面

又底面，，

又面

平面.                                                           （6分）

（III）解：由題可知兩兩垂直,

如圖建立空間直角坐標系,

設，則

.

設面的一個法向量為

 

即 取則，即

（9分）

設面的一個法向量為

 

即 取則即

由圖可知二面角的余弦值為．             （12分）

考點：直線與平面垂直的判定定理；二面角的平面角

點評：在立體幾何中，證明直線與直線垂直、直線與平面垂直常用到直線與平面垂直的判定定理。另外，假如幾何體是規則的圖形，還是建立空間直角坐標系，用向量去解決問題較方便。