Question

在對口扶貧活動中，企業甲將經營狀況良好的某種消費品專賣店以優惠價格轉讓給了小型殘疾人企業乙，并約定從該店經營的利潤中逐步償還（不計利息）．在甲提供的資料中有：①這種消費品的進價為每件30元；②該店日銷售量Q（件）與銷售單價x（元/件）的關系是：Q(x)=

-3x+162 (30≤x≤45) -2x+132 (45＜x≤66)

；③該店每日所需各項開支為120元．
（1）寫出企業乙每日的經營利潤函數f（x）；
（2）當商品每件單價為多少元時，函數f（x）有最大值？并求出此最大值．

Answer 1

分析：（1）企業乙每日的經營利潤為該店日銷售利潤，減去該店每日所需各項開支，根據條件，先求出該店日銷售利潤，進而可求企業乙每日的經營利潤函數f（x）；
（2）利用配方法，分段求出函數的最值，比較其結果，確定函數f（x）的最大值．

解答：解：（1）企業乙每日的經營利潤為該店日銷售利潤，減去該店每日所需各項開支
∵這種消費品的進價為每件30元，該店日銷售量Q（件）與銷售單價x（元/件）的關系是Q(x)=

-3x+162 (30≤x≤45) -2x+132 (45＜x≤66)

，
∴該店日銷售利潤為g(x)=x•Q(x)=

(-3x+162 )(x-30)，(30≤x≤45) (-2x+132)(x-30)， (45＜x≤66)

∴g(x)=

-3x2+252x-4860，(30≤x≤45) -2x2+192x-3960， (45＜x≤66)

∴f(x)=

-3x2+252x-4980，(30≤x≤45) -2x2+192x-4080， (45＜x≤66)

（2）當30≤x≤45時，f（x）=-3x²+252x-4980=-3（x-42）²+312
∴x=42時，函數的最大值為312
當45＜x≤66時，f（x）=-2x²+192x-4080=-2（x-48）²+528
∴x=48時，函數的最大值為528
綜上知，商品每件單價為48元時，函數f（x）有最大值，最大值為528．

點評：本題主要考查了分段函數的解析式，以及分段函數的最值和函數模型的選擇與應用，同時考查計算能力，函數模型的構建是關鍵，屬于中檔題．