Question

設關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
（2）若a是從區間[0，3]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析：首先分析一元二次方程有實根的條件，得到a≥b
（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件可以通過列舉得到結果數，滿足條件的事件在前面列舉的基礎上得到結果數，求得概率．
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足條件的構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據概率等于面積之比，得到概率．

解答：解：設事件A為“方程有實根”．
當a＞0，b＞0時，方程有實根的充要條件為a≥b
（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件共12個：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．
事件A中包含9個基本事件，
∴事件A發生的概率為P=

9

12

=

3

4

（2）由題意知本題是一個幾何概型，
試驗的全部結束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}
滿足條件的構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}
∴所求的概率是

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

點評：本題考查古典概型及其概率公式，考查幾何概型及其概率公式，本題把兩種概率放在一個題目中進行對比，得到兩種概率的共同之處和不同點．