Question

下列命題中：
①

a

∥

b

?存在唯一的實數λ∈R，使得

b

=λ

a

；
②

e

為單位向量，且

a

∥

e

，則

a

=±|

a

|•

e

；
③|

a

•

a

•

a

|=|

a

|3；
④

a

與

b

共線，

b

與

c

共線，則

a

與

c

共線；
⑤若

a

•

b

=

b

•

c

且

b

≠

0

，則

a

=

c

其中正確命題的序號是（　　）

A．①⑤

B．②③④

C．②③

D．①④⑤

Answer 1

分析：通過舉反例可得①④⑤不正確，根據兩個向量數量積公式、向量的模的定義可得②③正確．

解答：解：①不正確，例如當

a

=

0

時，λ有無數多個．
②正確．由于

e

為單位向量，且

a

∥

e

，故

a

 的模等于|

a

|，方向與

e

的方向相同或相反，故

a

=±|

a

|•

e

．
③正確，由于

a

3=

a

 •

a

•

a

，故|

a

•

a

•

a

|=|

a

|3．
④不正確，例如當

b

=

0

時，對于任意向量

a

 和

c

都能滿足

a

與

b

共線，

b

與

c

共線，但此時

a

與

c

不一定共線．
⑤不正確，例如當向量

a

 和

c

都和

b

垂直式，雖然滿足

a

•

b

=

b

•

c

且

b

≠

0

，但不能推出

a

=

c

．
故選C．

點評：本題主要考查兩個向量數量積公式的應用，兩個向量垂直和共線的性質，向量的模的定義，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．