Question

拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點，且|AB|=

8 6

11

．
（1）求拋物線的方程；
（2）在x軸上是否存在一點C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
由

y2=2px x+y-1=0

消去y，
得x²-2（1+p）x+1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2（1+p），
x₁•x₂=1．∵|AB|=

8 6

11

，
∴

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8 6

11

，
∴121p²+242p-48=0，
∴p=

2

11

或-

24

11

（舍）．
∴拋物線的方程為y²=

4

11

x．

（2）設AB的中點為D，則D(

13

11

，-

2

11

)．
假設x軸上存在滿足條件的點C（x₀，0），∵△ABC為正三角形，
∴CD⊥AB，∴x₀=

15

11

．
∴C（

15

11

，0），∴|CD|=

2 2

11

．
又∵|CD|=

3

2

|AB|=

12 2

11

，
故矛盾，∴x軸上不存在點C，使△ABC為正三角形．